Bună seara! Aș dori să mă ajutați și pe mine cu această promblemă. Mulțumesc!

        Comparați numerele :

A=1/1007+1/1008+1/1009+....+1/2011+1/2012

B=1/1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+.....+1/2007-1/2008+1/2009-1/2010+1/2011-1/2012

Fie u = 2*(1/2 + 1/4 + 1/6 + ... + 1/2012).

Adunati la A si la B  u = 2*(1/2 + 1/4 + 1/6 + ... + 1/2012), adica acelasi numar u.

Observati ca u = 2*(1/2 + 1/4 + ... + 1/2012) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/1006  (simplificam cu 2).

A+u = (1/1007+1/1008+...+1/2012) + (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/1006) = 1 +1/2 + 1/3 + ... + 1/2012.

B+u = (1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/2012) + (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + ... + 1/2012 + 1/2012) = 1 + 1/2 + 1/3 + ...+1/2012.

(cele marcate cu rosu si subliniate se reduc)

Se poate vedea ca A+u = B+u = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/2012 => A = B. 

Deci A = B.

Exista egalitatea adevarata pentru orice numar natural n nenul:

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/(2n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) (pentru n = 1006 obtineti exercitiul propus).

Multumesc!